Hiperbola Con Centro En El Origen Ejercicios Resueltos

Una hipérbola es un lugar geométrico. Esto significa que es una forma que sigue una regla matemática. Esta regla dice: la diferencia de distancias desde cualquier punto de la hipérbola a dos puntos fijos (llamados focos) es constante.

Cuando el centro de la hipérbola está en el origen (el punto (0,0) en un gráfico), la ecuación es más simple. Hay dos casos principales:

Caso 1: Hipérbola Horizontal

La ecuación es: x² / a² - y² / b² = 1

Analicemos las partes:

• a: Es la distancia desde el centro hasta un vértice. Los vértices son los puntos donde la hipérbola se "abre". En este caso, los vértices están en (a, 0) y (-a, 0).
• b: Está relacionado con la distancia a lo largo del eje perpendicular (el eje y). Ayuda a determinar la forma de la hipérbola.
• Focos: Están a una distancia c del centro, donde c² = a² + b². Los focos están en (c, 0) y (-c, 0).

Ejemplo: x² / 9 - y² / 16 = 1. Aquí, a² = 9, así que a = 3. También, b² = 16, así que b = 4. Para encontrar c, calculamos c² = 9 + 16 = 25, entonces c = 5.

Caso 2: Hipérbola Vertical

La ecuación es: y² / a² - x² / b² = 1

Nota la diferencia: y² está primero. Esto significa que la hipérbola se abre hacia arriba y hacia abajo.

• a: Es la distancia desde el centro hasta un vértice. Los vértices están en (0, a) y (0, -a).
• b: Está relacionado con la distancia a lo largo del eje perpendicular (el eje x).
• Focos: Están a una distancia c del centro, donde c² = a² + b². Los focos están en (0, c) y (0, -c).

Ejemplo: y² / 4 - x² / 25 = 1. Aquí, a² = 4, así que a = 2. También, b² = 25, así que b = 5. Para encontrar c, calculamos c² = 4 + 25 = 29, entonces c = √29.

Ejercicios Resueltos

Ejercicio 1: Encuentra los vértices y los focos de la hipérbola: x² / 16 - y² / 9 = 1

Solución: Esta es una hipérbola horizontal. a² = 16, así que a = 4. Los vértices son (4, 0) y (-4, 0). b² = 9, así que b = 3. c² = 16 + 9 = 25, entonces c = 5. Los focos son (5, 0) y (-5, 0).

Ejercicio 2: Encuentra los vértices y los focos de la hipérbola: y² / 36 - x² / 4 = 1

Solución: Esta es una hipérbola vertical. a² = 36, así que a = 6. Los vértices son (0, 6) y (0, -6). b² = 4, así que b = 2. c² = 36 + 4 = 40, entonces c = √40 = 2√10. Los focos son (0, 2√10) y (0, -2√10).

Recuerda practicar con muchos ejemplos para entender bien las hipérbolas con centro en el origen. Presta atención a si la ecuación empieza con x² o y² para determinar si es horizontal o vertical.