Ejercicios Resueltos De Permutaciones Y Combinaciones
Vamos a abordar la resolución de problemas de permutaciones y combinaciones. Lo haremos paso a paso.
Identificación del problema
Primero, debemos identificar si el orden importa o no. Si el orden importa, estamos ante una permutación. Si el orden no importa, estamos ante una combinación.
También es crucial identificar si se permiten repeticiones o no. Esto afectará la fórmula que utilizaremos.
Problema 1: Permutación sin repetición
Problema: ¿De cuántas maneras se pueden ordenar 5 libros distintos en una estantería?
Aquí, el orden importa. No hay repeticiones (cada libro es distinto). Es una permutación sin repetición.
La fórmula es: P(n) = n! , donde n es el número de elementos.
En este caso, n = 5. P(5) = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120.
Solución: Hay 120 maneras de ordenar los libros.
Problema 2: Combinación sin repetición
Problema: ¿De cuántas maneras se pueden elegir 3 estudiantes de un grupo de 10 para formar un comité?
El orden en que se eligen los estudiantes no importa. No hay repeticiones (un estudiante no puede ser elegido dos veces). Es una combinación sin repetición.
La fórmula es: C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!) , donde n es el número total de elementos y r es el número de elementos a elegir.
En este caso, n = 10 y r = 3. C(10, 3) = 10! / (3! * 7!) = (10 * 9 * 8) / (3 * 2 * 1) = 120.
Solución: Hay 120 maneras de formar el comité.
Problema 3: Permutación con repetición
Problema: ¿Cuántas palabras distintas se pueden formar con las letras de la palabra "BANANA"?
El orden importa. Hay repeticiones de letras (A y N). Es una permutación con repetición.
La fórmula es: n! / (n1! * n2! * ... * nk!), donde n es el número total de elementos y n1, n2, ..., nk son las cantidades de repeticiones de cada elemento.
En este caso, n = 6 (letras en "BANANA"). Tenemos 3 A's y 2 N's.
Entonces, la fórmula es: 6! / (3! * 2!) = (6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((3 * 2 * 1) * (2 * 1)) = 720 / (6 * 2) = 720 / 12 = 60.
Solución: Se pueden formar 60 palabras distintas.
Problema 4: Combinación con repetición
Problema: Una heladería ofrece 4 sabores de helado. ¿De cuántas maneras se pueden elegir 3 bolas de helado?
El orden no importa (solo importa la cantidad de cada sabor). Se permiten repeticiones (podemos elegir 3 bolas del mismo sabor). Es una combinación con repetición.
La fórmula es: C(n+r-1, r) = (n+r-1)! / (r! * (n-1)!) , donde n es el número de opciones y r es el número de elecciones.
En este caso, n = 4 (sabores) y r = 3 (bolas). C(4+3-1, 3) = C(6, 3) = 6! / (3! * 3!) = (6 * 5 * 4) / (3 * 2 * 1) = 20.
Solución: Hay 20 maneras de elegir las bolas de helado.
Resumen
Recuerda identificar si el orden importa y si hay repeticiones. Selecciona la fórmula adecuada y aplica los valores. Simplifica la expresión para obtener la respuesta final.
